Замена тяжелых CFD-расчетов суррогатными моделями Гауссовских процессов

Вот профессиональный, развернутый перевод и адаптация данной научной статьи на русский язык. Все технические термины, числа, формулы и имена сохранены в исходном виде, структура статьи выдержана в соответствии с ГОСТ и академическими стандартами русскоязычных публикаций.

---

Физически-обоснованная регрессия в сравнении с CFD для течений Гагена–Пуазейля и Уомерсли, а также количественная оценка неопределенности

Х. Ли, М. Ислам, Х. Ю, С. Ду* *Университет Индианы–Университет Пердью в Индианаполисе, США *Автор для корреспонденции: duxi@iu.edu

11-я Международная конференция по вычислительной динамике жидкости (ICCFD11) Мауи, Гавайи, США, 11–15 июля 2022 года ICCFD11-3301

---

Аннотация

Вычислительная гидродинамика (CFD) и сопутствующая количественная оценка неопределенности требуют значительных вычислительных ресурсов. В настоящем исследовании с использованием методов на основе Гауссовских процессов (GP) демонстрируется, что машинное обучение позволяет создавать эффективные и точные суррогатные модели, способные заменить CFD-симуляции при существенном снижении вычислительных затрат без потери физической точности. Также показано, что при использовании модели машинного обучения для описания гидродинамики возможно количественно оценивать как эпистемическую (модельную), так и алеаторную (случайную, связанную со входными параметрами) неопределенность. Демонстрация выполнена на примере моделирования течений Гагена–Пуазейля и Уомерсли, описывающих соответственно пространственный (стационарный) и пространственно-временной тип отклика. Обучающие точки генерировались с помощью аналитических решений с равномерной дискретизацией пространственных или пространственно-временных переменных. Суррогатные модели GP строились на основе регрессии с учителем. Погрешность GP-модели количественно оценивалась через эпистемическую неопределенность. Полученные результаты сравнивались с данными GPU-ускоренных объемных решеточных моделей Больцмана. Результаты показывают, что суррогатные модели способны точно воспроизводить гидродинамику (без проведения прямых CFD-расчетов) при наличии одновременно эпистемической и алеаторной неопределенности, обеспечивая при этом количественную оценку погрешности.

Ключевые слова: Машинное обучение с учителем, вычислительная гидродинамика, объемный метод решеточных уравнений Больцмана, суррогатная модель, количественная оценка неопределенности.

---

1. Введение

Вычислительная гидродинамика (CFD) играет ключевую роль при решении широкого спектра задач, связанных с реальными течениями. Однако высокая вычислительная стоимость часто требует поиска компромисса между точностью и эффективностью. Для преодоления этого ограничения широко применяются суррогатные модели [1, 2], которые заменяют дорогостоящие CFD-расчеты в инженерном анализе и проектировании. В последнее время для создания CFD-суррогатов все чаще используется регрессия на основе методов машинного обучения [3]. Такие модели позволяют добиться как высокой скорости вычислений, так и хорошей точности. Благодаря высокой эффективности суррогатных моделей, CFD-симуляция может быть выполнена за секунды или минуты, что открывает возможности для быстрого сценарного анализа, оценки большего числа вариантов проектирования, расширения пространства поиска, более надежного принятия решений и ускоренной оптимизации.

Несмотря на дешевизну, суррогатные модели содержат погрешности, связанные с самой моделью. Кроме того, входные параметры модели могут характеризоваться неопределенностью [4-7], обусловленной, например, случайными геометрическими параметрами, нагрузками, свойствами материалов или неточностями изготовления. Таким образом, возникает необходимость количественной оценки влияния этих неопределенностей на прогноз модели. В данном исследовании, помимо демонстрации того, что физически-обоснованная регрессия позволяет создавать эффективные и точные суррогатные модели (значительно сокращающие время вычислений без потери точности CFD), мы также показываем, что неопределенности как в структуре суррогатной модели, так и во входных данных могут быть количественно оценены, что позволяет оценить их влияние на прогнозируемые результаты CFD-симуляции.

---

2. Постановка задачи

В рамках данного исследования были разработаны две суррогатные модели: одна для стационарного течения Гагена–Пуазейля, другая — для нестационарного течения Уомерсли. Оба течения представляют собой ньютоновские несжимаемые потоки в трубе (Рис. 1(a)) и имеют аналитические решения. Наличие аналитических решений позволяет наглядно продемонстрировать эффективность суррогатных моделей и методологию количественной оценки неопределенности. Расчетная область представляет собой длинную идеальную трубу радиусом $R$ и длиной $L$. Течение создается градиентом давления вида $\nabla P = \nabla P_s + \nabla P_o \cos(\omega t)$, где $\nabla P_s$ и $\nabla P_o$ — стационарный градиент давления и амплитуда осциллирующего градиента давления соответственно; $\omega$ — угловая частота колебаний, как показано на Рис. 1(b).

(Рис. 1 (a) Изометрический вид трубы, (b) Форма волны пространственно-временного градиента давления)

2.1 Течение Гагена–Пуазейля

Течение Гагена–Пуазейля — это стационарный поток, возникающий под действием постоянного градиента давления ($\nabla P_s$). Аналитическое решение имеет вид:

$u(r) = \frac{\nabla P_s R^2}{4\mu} \left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) \quad (1)$

где $\mu$ — динамическая вязкость, $r$ — радиальное расстояние от центра поперечного сечения. Если обозначить максимальную скорость как $u_{max} = \frac{\nabla P_s R^2}{4\mu}$, то нормированное решение примет вид:

$u'(r') = 1 - r'^2 \quad (2)$

где нормированная скорость $u' = u / u_{max}$, а нормированное расстояние до центра сечения $r' = r / R$.

2.2 Течение Уомерсли

Течение Уомерсли создается осциллирующим градиентом давления $\nabla P = \nabla P_s + \nabla P_o e^{i\omega t}$. Аналитическое решение дается выражением:

$u(r, t) = \frac{\nabla P_s R^2}{4\mu} \left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) + \text{Re} \left\{ \frac{\nabla P_o R^2}{i\mu \alpha^2} \left[1 - \frac{J_0\left( \alpha \frac{r}{R} i^{3/2} \right)}{J_0\left( \alpha i^{3/2} \right)} \right] e^{i\omega t} \right\} \quad (3)$

Следует отметить, что уравнение (3) переходит в решение для течения Гагена–Пуазейля (уравнение (2)) при отсутствии осциллирующей составляющей градиента давления (т.е. при $\nabla P_o = 0$).

Скорость $u(r, t)$ может быть нормирована как:

$u'(r', t') = (1 - r'^2) + \text{Re} \left\{ \frac{4}{i\alpha^2} \frac{P_o}{P_s} \left[1 - \frac{J_0\left( \alpha r' i^{3/2} \right)}{J_0\left( \alpha i^{3/2} \right)} \right] e^{i t'} \right\} \quad (4)$

где нормированная угловая частота $t' = \omega t$, $P_o/P_s = \nabla P_o / \nabla P_s$; $\alpha = R\sqrt{\omega / \nu}$ и $J_0$ — число Уомерсли и функция Бесселя первого рода нулевого порядка соответственно.

2.3 Методология

Суррогатные модели для течения Гагена–Пуазейля и течения Уомерсли были построены с помощью регрессии. Полученные модели сравнивались с численными решениями CFD. CFD-расчеты выполнялись с использованием объемного метода решеточных уравнений Больцмана [8] на разработанном авторами GPU-ускоренном коде [9]. Градиент давления задавался в виде объемной силы; на стенках задавалось условие прилипания, а на входе и выходе — периодические граничные условия. Регрессия и CFD использовали одинаковые параметры. Физические величины, используемые в исследовании, приведены в Таблице 1.

Таблица 1. Физические величины для течений Гагена–Пуазейля и Уомерсли

Суррогатные модели создавались с помощью регрессии на основе Гауссовских процессов (GP). Для нестационарного течения Уомерсли время также включалось в качестве одного из измерений входных обучающих точек. Погрешность прогноза оценивалась через модельную неопределенность, представленную стандартным отклонением прогноза. Также существует возможность оценки погрешности прогноза для суррогатных моделей, построенных с помощью регрессии на нейронных сетях [10].

---

3. Регрессия на основе Гауссовских процессов (GP)

Существует множество методов регрессии в машинном обучении, таких как регрессия с помощью нейронных сетей [11] и GP-регрессия [12]. В данном исследовании мы используем GP, поскольку этот метод позволяет легко количественно оценить эпистемическую (модельную) неопределенность, связанную с погрешностью самой модели.

Цель GP — построить суррогатную модель по обучающим точкам для общей нелинейной CFD-модели. Обучающие точки включают как входные, так и выходные данные модели, поэтому GP является методом машинного обучения с учителем. GP обладает рядом преимуществ. Помимо способности количественно оценивать эпистемическую неопределенность, GP хорошо работает с наборами данных малого и среднего размера и обеспечивает высокую точность для нелинейных функций.

Обозначим обучающий набор данных через $\{(x_i, y_i)\}$, где $i = 1, 2, \dots, N$, $x \in \mathbb{R}^d$ и $y \in \mathbb{R}$. Этот набор используется для обучения нелинейной модели вида:

$\hat{y}(x) = h(x)^T \beta + \epsilon(x) \quad (5)$

где $h(x)$ — вектор базисных функций, $\beta$ — вектор подлежащих определению коэффициентов, а $\epsilon(x) \sim N(0, \sigma^2)$ — шумовой член, $x$ — вектор входных переменных, $\hat{y}$ — выход модели. Предполагается, что отклики (выходы) модели в различных точках имеют совместное нормальное распределение; или, иными словами, отклик $\hat{y}$ следует Гауссовскому процессу:

$\hat{y}(x) \sim GP(m(x), K(x, x')) \quad (6)$

где $m(x)$ и $K(x, x')$ — это соответственно среднее значение и ковариация GP. Таким образом, GP-модель является вероятностной. Выполним линейное преобразование так, чтобы функция среднего стала нулевой. Априорное совместное распределение наблюдаемых откликов $\mathbf{y}$ можно смоделировать как:

$P(\mathbf{y} | X, \beta) \sim N(\mathbf{y} | H\beta, K + \sigma^2 I) \quad (7)$

где $I$ — единичная матрица размером $N \times N$; $f(X) \sim N(0, K(X, X) )$ следует многомерному нормальному распределению. $K(X, X)$ — симметричная ковариационная матрица, где $X = [x_1^T, x_2^T, \dots, x_N^T]^T$. Таким образом, априорное распределение наблюдаемых значений $\mathbf{y}$ и новых откликов в тестовых точках $\mathbf{y}_*$ имеет вид:

$\begin{bmatrix} \mathbf{y} \\ \mathbf{y}_* \end{bmatrix} \sim N \left( \mathbf{0}, \begin{bmatrix} K + \sigma^2 I & K_*^T \\ K_* & K_{**} \end{bmatrix} \right) \quad (8)$

Здесь $K_{ij} = K(x_i, x_j)$ — симметричная ковариационная матрица откликов в обучающих точках; $K_{**}$ — ковариационная матрица прогнозируемых откликов в тестовых точках; $K_* = K_*^T$ — ковариационная матрица откликов в тестовых и обучающих точках. Выбор функции ковариационного ядра (kernel function) критически важен для точности прогнозов модели. Наиболее широко используемой является ядро в виде квадратичной экспоненты (squared exponential kernel, также RBF kernel). Распределение прогноза является условным распределением и задается формулой:

$\mathbf{y}_* | X, \mathbf{y}, X_* \sim N(\mathbf{\mu}_*, \Sigma_*) \quad (9)$

где $\mathbf{\mu}_*$ — среднее значение прогнозируемых откликов, а $\Sigma_*$ — дисперсия прогноза, которые определяются как:

\mathbf{\mu}_* &= K_*^T [K + \sigma^2 I]^{-1} \mathbf{y} \\ \Sigma_* &= K_{**} - K_*^T [K + \sigma^2 I]^{-1} K_* \end{aligned} \quad (10)$$ $\Sigma_*$ дает не только стандартное отклонение отклика в тестовой точке, но и зависимость откликов между всеми тестовыми точками. Первое указывает на модельную или эпистемическую неопределенность. Чем выше стандартное отклонение прогнозируемого отклика, тем выше эпистемическая неопределенность. --- ## 4. Количественная оценка неопределенности При использовании суррогатной модели CFD для прогнозирования мы сталкиваемся с двумя типами неопределенности: эпистемической и алеаторной [13]. Эпистемическая неопределенность — это модельная неопределенность суррогатной модели, как обсуждалось в разделе 3. Алеаторная неопределенность обусловлена внутренней случайностью во входных данных модели, такой как случайные нагрузки, свойства материалов и граничные условия. При использовании суррогатной модели для реальных приложений необходимо учитывать влияние обоих типов неопределенности. Они могут быть смоделированы с помощью случайных величин. Далее рассматривается, как прогнозировать распределение вероятностей выхода CFD на основе суррогатной модели, учитывая оба типа неопределенности. Отклик от GP-суррогатной модели равен $Y = \hat{y}(X)$, где $X = (X_1, X_2, \dots, X_d)^T$ — независимые случайные величины $X_i, i=1,2,\dots,d$, которые подчиняются определенным распределениям с функцией плотности вероятности $f_{X_i}(\cdot)$. Входные переменные обладают алеаторной неопределенностью. Если входные переменные не являются независимыми, их можно преобразовать в независимые, до или после выполнения регрессии. Условное распределение прогнозируемого $Y$ при заданном $X$ является нормальным распределением: $$Y | X = \hat{y}(X) \sim N(\hat{\mu}(X), \hat{\sigma}^2(X)) \quad (11)$$ Это условное распределение вызвано эпистемической неопределенностью в суррогатной модели. Пусть $f(X, Y)$ — совместная функция плотности вероятности (ФПВ) для $X$ и $Y$. С учетом обоих типов неопределенности среднее значение $Y$ вычисляется как: $$E[Y] = \int \hat{\mu}(X) f(X) dX = E_X[\hat{\mu}(X)] \quad (12)$$ где $E[\cdot]$ обозначает математическое ожидание, а $f(X)$ — совместная ФПВ для $X$. Дисперсия отклика равна: $$Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = E_X[\hat{\sigma}^2(X)] + Var_X(\hat{\mu}(X)) \quad (13)$$ Первое и второе слагаемые в правой части уравнения указывают на вклад в общую неопределенность от модельной (эпистемической) неопределенности и от неопределенности данных (алеаторной) соответственно. Далее рассмотрим, как оценить функцию кумулятивного распределения (ФКР) отклика. Не теряя общности, найдем следующую вероятность: $$P_f = Pr(Y < 0) \quad (14)$$ Эта вероятность называется вероятностью отказа, если отказ происходит при выполнении условия $Y < 0$ [14]. Эта вероятность широко используется в проектировании на основе надежности [15]. Она также является значением ФКР в точке $Y = 0$: $$\begin{aligned} P_f &= Pr(Y < 0) = \iint_{y < 0} f_{XY}(X, Y) dX dY \\ &= \int \Phi\left( -\frac{\hat{\mu}(X)}{\hat{\sigma}(X)} \right) f(X) dX \end{aligned} \quad (15)$$ где $f_{XY}(X, Y)$ — совместная ФПВ для $X$ и $Y$, а $\Phi(\cdot)$ — ФКР стандартной нормальной случайной величины. Пусть: $$g(X) = \Phi\left( -\frac{\hat{\mu}(X)}{\hat{\sigma}(X)} \right) \quad (16)$$ Тогда: $$P_f = \int g(X) f(X) dX = E_X[g(X)] \quad (17)$$ $E_X(\cdot)$, $Var_X(\cdot)$ и $P_f$ — все это математические ожидания по $X$. Существует два метода оценки математического ожидания: первый — метод Монте-Карло (MCS) [16-18], второй — разложение в ряд Тейлора в точке средних значений $\mu_X = [\mu_{X_1}, \mu_{X_2}, \dots, \mu_{X_d}]^T$. Использование MCS является стандартным и прямолинейным. Кратко рассмотрим второй метод. Обозначим нелинейную функцию через $h(X)$; $h(X)$ может быть $\hat{\mu}(X)$, $\hat{\sigma}(X)$ или $g(X)$: $$h(X) \approx h(\mu_X) + \nabla h(\mu_X)(X - \mu_X) + \frac{1}{2}(X - \mu_X)^T H(\mu_X)(X - \mu_X) \quad (18)$$ где $\nabla h(\cdot)$ и $H(\cdot)$ — градиент и матрица Гессе функции $h(\cdot)$ соответственно. Тогда: $$E[h(X)] \approx h(\mu_X) + \frac{1}{2} tr(H(\mu_X) Cov_X) \quad (19)$$ где $tr(\cdot)$ — след матрицы. Поскольку компоненты $X$ независимы: $$E[h(X)] \approx h(\mu_X) + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^d \frac{\partial^2 h}{\partial X_i^2}(\mu_X) \sigma_{X_i}^2 \quad (20)$$ Если использовать разложение Тейлора первого порядка, то: $$Var[h(X)] \approx \sum_{i=1}^d \left( \frac{\partial h}{\partial X_i}(\mu_X) \sigma_{X_i} \right)^2 \quad (21)$$ Вероятность отказа аппроксимируется выражением: $$P_f = g(\mu_X) + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^d \frac{\partial^2 g}{\partial X_i^2}(\mu_X) \sigma_{X_i}^2 \quad (22)$$ Производные вычисляются методом конечных разностей. --- ## 5. Численные результаты В данном разделе проводится сравнение прогнозов GP-суррогатной модели и CFD-симуляции для профиля скорости вдоль радиуса. Кроме того, выполняется количественная оценка неопределенности для течения Уомерсли, включающая как модельную, так и алеаторную неопределенность. Подробная информация о входных переменных для обучения GP-моделей приведена в Таблице 2; наблюдаемые отклики (выходы) были получены с помощью нормированных аналитических решений (уравнения (2) и (4)). **Таблица 2. Распределения входных переменных** | Течение | Переменная | Минимум | Максимум | Распределение | Количество точек | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | **Гаген–Пуазейль** | $u_{max}$ (м/с) | 0.1 | 5.0 | Равномерное | 450 | | | $R$ (м) | 0.0025 | 0.5 | Единичное значение | 1 | | **Уомерсли** | $\alpha$ | 1.0 | 2.0 | Равномерное | 10 | | | $P_o/P_s$ | 2.0 | 5.0 | Равномерное | 10 | | | $r'$ | 0.0 | 1.0 | Равномерное | 30 | | | $t'$ | 4.7414 | 10.2364 | Равномерное | 10 | Результаты представлены на Рис. 2 для стационарного течения Гагена–Пуазейля и на Рис. 3 для нестационарного течения Уомерсли. Для стационарного течения как прогнозы GP, так и CFD-симуляция дают профили, практически совпадающие с аналитическими решениями. Для нестационарного течения Уомерсли были выбраны четыре характерных момента времени в течение одного периода колебаний: $t' = [5.9625, 7.0964, 8.6664, 10.2364]$. На Рис. 3 видно, что все профили скорости, полученные с помощью GP в эти моменты времени, также идентичны аналитическим решениям, в то время как результаты CFD демонстрируют заметные отклонения от аналитики. *(Рис. 2 Сравнение профилей скорости течения Гагена–Пуазейля вдоль радиального направления)* *(Рис. 3 Сравнение профилей скорости течения Уомерсли вдоль радиального направления в четыре характерных момента времени в течение одного периода колебаний)* Для количественной оценки модельной неопределенности использовался метод Монте-Карло (MCS) с объемом выборки $10^6$. Имеются две независимые случайные входные переменные $X = [\alpha, P_o/P_s]$, которые подчиняются нормальному распределению. Их параметры распределения приведены в Таблице 3. **Таблица 3. Распределения случайных переменных** | Переменная | Среднее | Стандартное отклонение | Распределение | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $\alpha$ | 1.7441 | 0.0750 | Нормальное | | $P_o/P_s$ | 3.7523 | 0.1250 | Нормальное | Прогнозы GP сравнивались с аналитическими решениями в момент времени 5.9625 с. Средние значения и стандартные отклонения приведены в Таблицах 4 и 5 соответственно. На Рис. 4 также показаны 95% доверительные интервалы. Данные таблиц и Рисунок 4 свидетельствуют о высокой точности GP-модели. *(Рис. 4 Прогнозы GP-модели и аналитические значения)* Вклад модельной и алеаторной неопределенности представлен в Таблице 6. Второй столбец показывает стандартные отклонения вклада алеаторной неопределенности в общую неопределенность (последний столбец). Это соответствует второму члену в правой части уравнения (13). Третий столбец показывает вклад модельной неопределенности, соответствующий первому члену в правой части уравнения (13). Неопределенность прогноза в основном обусловлена алеаторной неопределенностью данных, которая значительно превышает модельную неопределенность. --- ## 6. Заключение и перспективы На примере стационарного течения Гагена–Пуазейля и нестационарного течения Уомерсли было продемонстрировано, что суррогатные модели обеспечивают гораздо более высокую скорость вычислений по сравнению с CFD, а по точности, соответственно, эквивалентны (течение Гагена–Пуазейля) или превосходят (течение Уомерсли) CFD-симуляции. Также было показано, что погрешность суррогатной модели может быть оценена посредством количественной оценки модельной неопределенности. При достаточном количестве обучающих точек прогноз суррогатной модели является точным и характеризуется малой модельной неопределенностью. Количественная оценка неопределенности также позволяет учитывать неопределенность во входных данных модели. Это помогает пользователям понять влияние неопределенностей на прогноз и увидеть вклад различных источников неопределенности, что способствует принятию более обоснованных решений. Дальнейшая работа будет направлена на количественную оценку неопределенности для более сложных CFD-моделей, не имеющих аналитических решений, с целью значительного сокращения времени вычислений. Планируется обучить суррогатные модели для более реалистичных стационарных и нестационарных течений и выполнить полномасштабный анализ количественной оценки неопределенности. --- *(Таблицы 4, 5 и 6 с числовыми данными сохранены в оригинале)* **Таблица 4. Средние значения прогнозов GP и аналитического решения** | $r$ | Среднее (GP) | Среднее (Аналит.) | Ошибка | Относит. ошибка (%) | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 0 | 0.93743 | 0.94538 | 0.00794 | 0.8403 | | 0.0345 | 0.93681 | 0.94475 | 0.00793 | 0.8394 | | 0.0690 | 0.93496 | 0.94285 | 0.00789 | 0.8370 | | 0.1034 | 0.93185 | 0.93968 | 0.00782 | 0.8329 | | 0.1379 | 0.92747 | 0.93520 | 0.00773 | 0.8273 | | 0.1724 | 0.92177 | 0.92939 | 0.00762 | 0.8201 | | 0.2069 | 0.91472 | 0.92220 | 0.00748 | 0.8114 | | 0.2414 | 0.90625 | 0.91357 | 0.00732 | 0.8012 | | 0.2759 | 0.89629 | 0.90342 | 0.00713 | 0.7896 | | 0.3103 | 0.88476 | 0.89168 | 0.00692 | 0.7766 | | 0.3448 | 0.87156 | 0.87825 | 0.00669 | 0.7624 | | 0.3793 | 0.85656 | 0.86301 | 0.00644 | 0.7469 | | 0.4138 | 0.83964 | 0.84582 | 0.00617 | 0.7303 | | 0.4483 | 0.82063 | 0.82652 | 0.00589 | 0.7127 | | 0.4828 | 0.79936 | 0.80495 | 0.00558 | 0.6942 | | 0.5172 | 0.77562 | 0.78089 | 0.00527 | 0.6748 | | 0.5517 | 0.74918 | 0.75412 | 0.00493 | 0.6548 | | 0.5862 | 0.71978 | 0.72438 | 0.00459 | 0.6340 | | 0.6207 | 0.68714 | 0.69138 | 0.00423 | 0.6128 | | 0.6552 | 0.65095 | 0.65482 | 0.00387 | 0.5912 | | 0.6897 | 0.61084 | 0.61434 | 0.00349 | 0.5692 | | 0.7241 | 0.56644 | 0.56956 | 0.00311 | 0.5470 | | 0.7586 | 0.51734 | 0.52007 | 0.00272 | 0.5246 | | 0.7931 | 0.46308 | 0.46541 | 0.00233 | 0.5021 | | 0.8276 | 0.40317 | 0.40512 | 0.00194 | 0.4797 | | 0.8621 | 0.33712 | 0.33867 | 0.00154 | 0.4573 | | 0.8966 | 0.26436 | 0.26551 | 0.00115 | 0.4351 | | 0.9310 | 0.18432 | 0.18509 | 0.00076 | 0.4128 | | 0.9655 | 0.09641 | 0.09679 | 0.00037 | 0.3890 | **Таблица 5. Стандартные отклонения прогнозов GP и аналитического решения** | $r$ | Стандартное отклонение (GP) | Стандартное отклонение (Аналит.) | Ошибка | Относит. ошибка (%) | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 0 | 0.03585 | 0.03792 | 0.00794 | 5.4482 | | 0.0345 | 0.03584 | 0.03792 | 0.00793 | 5.4805 | | 0.0690 | 0.03580 | 0.03791 | 0.00789 | 5.5765 | | 0.1034 | 0.03573 | 0.03791 | 0.00782 | 5.7326 | | 0.1379 | 0.03564 | 0.03789 | 0.00773 | 5.9425 | | 0.1724 | 0.03551 | 0.03786 | 0.00762 | 6.1980 | | 0.2069 | 0.03535 | 0.03781 | 0.00748 | 6.4894 | | 0.2414 | 0.03516 | 0.03772 | 0.00732 | 6.8060 | | 0.2759 | 0.03491 | 0.03760 | 0.00713 | 7.1371 | | 0.3103 | 0.03462 | 0.03742 | 0.00692 | 7.4719 | | 0.3448 | 0.03427 | 0.03717 | 0.00669 | 7.8007 | | 0.3793 | 0.03385 | 0.03684 | 0.00644 | 8.1145 | | 0.4138 | 0.03335 | 0.03641 | 0.00617 | 8.4058 | | 0.4483 | 0.03275 | 0.03586 | 0.00589 | 8.6683 | | 0.4828 | 0.03206 | 0.03519 | 0.00558 | 8.8968 | | 0.5172 | 0.03124 | 0.03436 | 0.00527 | 9.0868 | | 0.5517 | 0.03029 | 0.03337 | 0.00493 | 9.2347 | | 0.5862 | 0.02920 | 0.03220 | 0.00459 | 9.3362 | | 0.6207 | 0.02795 | 0.03084 | 0.00423 | 9.3864 | | 0.6552 | 0.02653 | 0.02928 | 0.00387 | 9.3782 | | 0.6897 | 0.02494 | 0.02749 | 0.00349 | 9.3007 | | 0.7241 | 0.02316 | 0.02549 | 0.00311 | 9.1362 | | 0.7586 | 0.02119 | 0.02325 | 0.00272 | 8.8547 | | 0.7931 | 0.01902 | 0.02076 | 0.00233 | 8.4016 | | 0.8276 | 0.01664 | 0.01803 | 0.00194 | 7.6686 | | 0.8621 | 0.01406 | 0.01503 | 0.00154 | 6.4096 | | 0.8966 | 0.01128 | 0.01175 | 0.00115 | 3.9488 | | 0.9310 | 0.00835 | 0.00817 | 0.00076 | 2.2266 | | 0.9655 | 0.00549 | 0.00426 | 0.00037 | 28.735 | **Таблица 6. Вклад в общую неопределенность от модельной и алеаторной неопределенностей** | $r$ | Стандартное отклонение от алеаторн. неопр. | Стандартное отклонение от модел. неопр. | Стандартное отклонение прогноза | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 0 | 0.03564 | 0.00388 | 0.03585 | | 0.0345 | 0.03563 | 0.00388 | 0.03584 | | 0.0690 | 0.03559 | 0.00388 | 0.03580 | | 0.1034 | 0.03552 | 0.00388 | 0.03573 | | 0.1379 | 0.03543 | 0.00388 | 0.03564 | | 0.1724 | 0.03530 | 0.00388 | 0.03551 | | 0.2069 | 0.03514 | 0.00388 | 0.03535 | | 0.2414 | 0.03494 | 0.00388 | 0.03516 | | 0.2759 | 0.03470 | 0.00388 | 0.03491 | | 0.3103 | 0.03440 | 0.00388 | 0.03462 | | 0.3448 | 0.03405 | 0.00388 | 0.03427 | | 0.3793 | 0.03362 | 0.00388 | 0.03385 | | 0.4138 | 0.03312 | 0.00388 | 0.03335 | | 0.4483 | 0.03252 | 0.00388 | 0.03275 | | 0.4828 | 0.03182 | 0.00388 | 0.03206 | | 0.5172 | 0.03100 | 0.00388 | 0.03124 | | 0.5517 | 0.03004 | 0.00388 | 0.03029 | | 0.5862 | 0.02894 | 0.00388 | 0.02920 | | 0.6207 | 0.02768 | 0.00388 | 0.02795 | | 0.6552 | 0.02624 | 0.00388 | 0.02653 | | 0.6897 | 0.02463 | 0.00388 | 0.02494 | | 0.7241 | 0.02283 | 0.00388 | 0.02316 | | 0.7586 | 0.02083 | 0.00388 | 0.02119 | | 0.7931 | 0.01862 | 0.00388 | 0.01902 | | 0.8276 | 0.01618 | 0.00388 | 0.01664 | | 0.8621 | 0.01351 | 0.00388 | 0.01406 | | 0.8966 | 0.01059 | 0.00388 | 0.01128 | | 0.9310 | 0.00739 | 0.00388 | 0.00835 | | 0.9655 | 0.00388 | 0.00388 | 0.00549 | --- **Благодарности** Исследование выполнено при поддержке Национального научного фонда США (грант CBET 1803845). В работе использовалась вычислительная инфраструктура Extreme Science and Engineering Discovery Environment (XSEDE), поддерживаемая Национальным научным фондом США (грант № ACI-1548562). **Литература** [1] B. A. Craven, K. I. Aycock, L. H. Herbertson, a nd R. A. Malinauskas, "A CFD-based Kriging surrogate modeling approach for predicting device-s pecific hemolysis power law coefficients in blood-contacting medical devices," Biomechanics and Modeling in Mechanobiology, vol. 18, no. 4, pp. 1005-1030, 2019/08/01 2019, doi: 10.1007/s10237-019-01126-4. [2] Z. Qian, C. C. Seepersad, V. R. Joseph, J. K. Allen, and C. F. Jeff Wu, "Building Surrogate Models Based on Detailed and Approximate Simulations," Journal of Mechanical Design, vol. 128, no. 4, pp. 668-677, 2005, doi: 10.1115/1.2179459. [3] Y. Morita, S. Rezaeiravesh, N. Tabatabaei, R. V inuesa, K. Fukagata, and P. Schlatter, "Applying Bayesian optimization with Gaussian process regress ion to computational fluid dynamics problems," Journal of Computational Physics, vol. 449, p. 110788, 2022. [4] P. J. Roache, "Quantification of uncertainty in computational fluid dynamics," Annual review of fluid Mechanics, vol. 29, no. 1, pp. 123-160, 1997. [5] W. L. Oberkampf and T. G. Trucano, "Verificatio n and validation in computational fluid dynamics," Progress in aerospace sciences, vol. 38, no. 3, pp. 209-272, 2002. [6] H. Yu et al., "Inlet and Outlet Boundary Conditions and Uncertainty Quantification in Volumetric Lattice Boltzmann Method for Image-Based Computational Hemodynamics," Fluids, vol. 7, no. 1, p. 30, 2022. [7] H. Yu et al., "A new noninvasive and patient-specific hemodynamic index for assessing the severity of renal arterial stenosis," International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, vol. e3611, no. PMID: 35509229, pp. 1-42, 2022. [8] H. Yu et al., "Mass-conserved volumetric lattice Boltzmann meth od for complex flows with willfully moving boundaries," Physical Review E, vol. 89, no. 6, p. 063304, 2014. [9] X. Zhang et al., "Volumetric lattice Boltzmann method for wall str esses of image-based pulsatile flows," Scientific Reports, vol. 12, no. 1, pp. 1-15, 2022. [10] H. Li, J. Yin, and X. Du, "Label Free Uncertainty Quantification," in AIAA SCITECH 2022 Forum, (AIAA SciTech Forum: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2021. [11] G. Calzolari and W. Liu, "Deep learning to rep lace, improve, or aid CFD analysis in built environment applications: A review," Building and Environment, vol. 206, p. 108315, 2021. [12] H. Wu, Z. Zhu, and X. Du, "System Reliability Analysis With Autocorrelated Kriging Predictions," Journal of Mechanical Design, vol. 142, no. 10, 2020, doi: 10.1115/1.4046648. [13] J. Yin and X. Du, "Uncertainty Quantification by Convolutional Neural Network Gaussian Process Regression with Image and Numerical Data," in AIAA SCITECH 2022 Forum, 2022, p. 1100. [14] J. Yin and X. Du, "High-Dimensional Reliabilit y Method Accounting for Important and Unimportant Input Variables," Journal of Mechanical Design, vol. 144, no. 4, 2021, doi: 10.1115/1.4051982. [15] Z. Hu and X. Du, "Efficient reliability-based design with second order approximations," Engineering Optimization, vol. 51, no. 1, pp. 101-119, 2019/01/02 2019, doi: 10.1080/0305215X.2018.1440292. [16] L. Meng, X. Du, B. McWilliams, and J. Zhang, "Probabilistic Feasibility Design of a Laser Powder Bed Fusion Process Using Integrated First-Order Reli ability and Monte Carlo Methods," Journal of Manufacturing Science and Engineering, vol. 143, no. 9, 2021, doi: 10.1115/1.4050544. [17] H. Li and X. Du, "A Bayesian Approach to Recov ering Missing Component Dependence for System Reliability Prediction via Synergy Between P hysics and Data," in International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, 2021, vol. 85390: American Society of Mechanical Engineers, p. V03BT03A009. [18] H. Li and X. Du, "Recovering Missing Component Dependence for System Reliability Prediction via Synergy Between Physics and Data," Journal of Mechanical Design, vol. 144, no. 4, 2022. --- ## Источник [Источник](https://engineering.purdue.edu/YuLab/research/products/PublishedPapers/2022ICCFD11-3301.pdf) ## Теги * #CFD * #MachineLearning * #SurrogateModeling * #Hydrodynamics <p>Источник: <a href="https://engineering.purdue.edu/YuLab/research/products/PublishedPapers/2022ICCFD11-3301.pdf">https://engineering.purdue.edu/YuLab/research/products/PublishedPapers/2022ICCFD11-3301.pdf</a></p> <p>#CFD #MachineLearning #SurrogateModeling #Hydrodynamics</p>